Formularul diferențial

O formă diferențială este ceea ce se pune într-un integral, dar obiectivul acestui articol este de a-și prezenta în același timp utilitatea și expozițiile lor în același timp structura lor locală frumoasă.

Dacă nu sunteți clar conceptul de receptor CO sau 1-Way, recomandăm cu tărie revizuirea articolului înainte. De asemenea, este de dorit să se simtă oarecum confortabil cu derivatul direcțional, dispozitivul de tensionare și o algebră exterioară.

Dacă ați examinat deja sau ați contactat formulare diferențiale, știți că există 1 formulare, 2 forme și În general, N-forme, în acest articol, le vom purta pas cu pas, vom începe cu …

1-diferențial forme

motivația principală de înțeles Formele 1-diferențiale Este calculul integrelor de linie. În aceste integrire fiecare „segment infinitezimal” al unei traiectorie cu o urcare este legat. Acest tip de raport de segment infinitezimal la urcare este asigurat de o formă de 1-diferențială. O linie integrală adăugată după toate scalarii.

Sintetizarea segmentelor infinitesimale de 1 formulare diferențiale (vectori) pentru scalare.

segmente (vectori) de domeniu de 1-diferențial Forma sunt elemente ale spațiului cotangent al soiului. Baza spațiilor cotangente la fiecare punct este b = \ {dx_1, dx_2, …, dx_n \}. În plus, deoarece este un spațiu vectorial, o formă de 1 diferențială poate fi exprimată la nivel local ca o combinație liniară a elementelor de bază SO \ BM \ alpha = \ sum_n f_n (x_n) dx_n.

De exemplu, pentru clasicul de traiectorie cuprinzător pe un câmp conservator tridimensional, soiul considerat este \ Mathk R ^ 3, și o formă de 1 diferențială este o \ bmα- \ în \ bigcup_p \ Mathbk R *}.

DW = F_XDX + F_YDY + F_ZDZ

Covarianță

O idee care trebuie să fie clară despre formele diferențiale este că sunt obiecte covarioase. Ei bine, pentru formele 1-diferențiale, care sunt hobby-uri, ca și formele K-Diferențiale, care sunt tensori K-Covariant, această idee de covariance este esențială pentru atingerea conceptului de forme K. Covariance facilitează interpretarea geometrică, integrarea și algebra sa.

Pentru a verifica covarianța Vom lua ca un exemplu Forma 1-diferențială \ BM \ alfa = 2xdx + 2Ydy, care este derivat din câmpul scalar (0-formă) \ bm \ phi (\ matethbb r ^ 2) = x ^ 2 + și ^ 2. Formularul diferențial se va comporta ca un cinstit (covariant), în cazul în care schimbarea bazei spațiului vector la o altă „dimensiune dublă” duplică componentele formei 1-diferențiale. Să vedem, de exemplu, pe soiul \ Mathk R ^ 2.

Sea T_P (\ Mathkb R ^ 2) Spațiul tangent la un punct P al varietății \ Mathbk R ^ 2 și două baze . Un b = \ scel \ {\ frac {\ partial} {parțial {\ partial} {\ parțial} {\ partial y} \ dreapta \} și bază adăugare „Domină dublă” B „= \ stânga \ {\ bm e’_i \ dreapta \} = \ stânga \ {2 \ frac {\ partial} {partial \ x}, 2 \ frac {\ partial} {\ parțial y } \ dreapta \}

este baza dual \ mathbb r {2 *}, b ^ * = \ stânga \ {\ bm \ epsilon_i \ dreapta \} = \ {dx, dy. Vrem să găsim acum noua bază dublă pentru a vedea cum sunt lăsate componentele. Se pare că prin definiție \ bm \ epsilon ‘^ i (\ bm e’j) = \ i (\ bm e’j) = \ i (\ bm e’j) = \ i (\ bm e’j) = \ delta_j ^ i și este necesar ca dacă baza vectorului este „Double Dimensiune”, baza duală este „jumătate de dimensiune” Presery \ delta_j ^ I, sau este B ‘^ * = \ {\} = {{{dx \} = {{{{dx \ {{{{{dx \ {{{{{dx \ {{{{{{dx \} Deja deja, bazele pot fi văzute deoarece componentele vectorilor rămân în \ Mathkb R *}. Reamintim de sus că covarianță înseamnă că „prin schimbarea bazei spațiului vector la o altă” dimensiune dublă „duplică componentele formei 1”. Ei bine, atunci pentru 1-format \ bm \ alfa = 2xdx + 2Ydy

\ mic \ bm \ frac {\ partial x} dx + \ frac {\ partial \ bm \ phi } {\ partial y} dy = 2xdx + 2Ydy \ echiv. \ echiv. } \ dreapta) = \ culoare {roșu} (2x, 2y) \ culoare {negru}

și dacă baza dublă este schimbată la „Mid-size” {b’_p} ^ * = \ {{dx \ Peste 2}, {d \ peste 2} \} = \ {dx ‘, Dy’} = \ {dx ‘, Dy’} = \ {dx ‘, Dy’} = {d {dx ‘, Dy’ {\ {dx ‘, Dy’} = \ frac {\ partial x} dx + \ frac {\ partial \ bm \ partial y} d = \ parțial y} d = \ frac {\ partial \ bm \ phi {\ partial x} {2dx ‘} + \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partial y} {2dy’} \ echiv \\ \ echiv \ culoare {roșu} (4x, 4y) \ culori {negru}

cu ceea ce Schimbarea eficientă a bazei spațiului vector la o altă „dimensiune dublă”, componentele formei 1-diferențiale sunt, de asemenea, crescute în proporție egală. Se îndeplinește că componentele sunt covariante; Acesta este din conceptul de covariance.

Interpretare geometrică în plan

Dacă vizitați articolul aproximativ 1-Way veți vedea un exemplu de 1 -Form de \ Mathkb R ^ 2 care poate fi interpretat ca o serie de linii paralele care aruncă vectori.

Reprezentare geometrică Reprezentare geometrică a unui carcasă

de aici o formă de 1 diferențial este un câmp de o singură cale definit pe o varietate diferențiată. De exemplu, pentru o formă de 1 diferențială definită pe \ Mathk R ^ 2 Trebuie să vă imaginați că, la fiecare punct, aveți liniile roșii de dimensiune infinitezimală. Uniunea liniilor va urmări curbele tipice de nivel, care reprezintă în mod geometric formele de 1 diferențial. În general, o formă de 1-diferențială care este derivată dintr-un câmp scalar definit pe o varietate N, este un obiect (n-1) -demensional. Derivarea câmpului scalar este realizată cu operația exterioară derivată.

pentru exemple de acest tip și arată câmpurile scalare pe \ Mathk R ^ 2 (dimensiunea 2) și la curbele de nivel superior reprezintă 1 forme diferențiale (dimensiune 1). Două nuanțe: În mod natural, nu este reprezentată o linie infinitezimală pentru fiecare punct al soiului, dar unele linii sunt selectate pentru a ilustra ideea generală. Gradientul, reprezentat de săgeți în ambele figuri, induce orientarea spațială la curbele de nivel care vor percepe importanța atunci când vine vorba de integrarea formularelor K.

div>

Formularul 1-diferențial 1
Câmp de scară \ Phi (\ Mathk R ^ 2) = XY, și formularul său de 1-diferențial corespunzător \ alpha = YDX + XDY

div id = „1-diferențial în apartament 2 Câmpul scalei \ Phi (\ Mathk R ^ 2) = NO (x) COS (Y) și formularul său de 1-diferențial corespunzător α = COS (x) cos (y) dx- nr (x) fără (Y) DY 34C87A2778 „>

Interpretare geometrică în spațiu

Dacă forma de 1-diferențială este definită pe \ matethbk R ^ 3 (Dimensiunea 3), poate fi reprezentată la fiecare punct al soiului ca un element de grosime infinitezimal 2 plat. Uniunea tuturor elementelor 3-soiului, poate fi desenată prin conveniență cu unele suprafețe de nivel în stilul. Acestea au o grosime infinitezimală și, în acest exemplu, săgețile reprezintă gradientul care induce orientarea suprafețelor.

1 -Forma diferențial în spațiu câmp de scară \ phi (\ matethbb r ^ 3) = xyz, și forma de 1-diferențială corespunzătoare \ alpha = yzdx + xzdy + xydz

Voi spune că este un obiect matematic care va fi operat pe integrale liniei pe diferite n-soiuri. Dacă N \ GE 2, integralele pot fi calculate prin parametrizarea traiectoriei C astfel încât x \ echiv. X (λ) etc., cu care în practică calculează ca pe n = 1.

1-diferențiat formular Integrare Integrare în \ Mathbb R \ hapsto \ int {F (x) dx} 1 și în \ Mathk R ^ 2 \ hapsto {f_1 (x, y) dx + f_2 (x, y) dy} 1} \ echiv \ int {lambda) d \ lambda} 1}

i observăm că, în fundal, lucrăm cu două obiecte

  • integrarea (forma de 1-diferențială), care își modifică în mod normal valoarea de-a lungul Traiectory
  • Traiectoria însăși, din care nu este de obicei conștientă pentru integrale realități reale variabile. Este gama axei x pe care se efectuează integralul, în \ mic \ culori {albastru} \ color {negru} (de mai jos) ar fi \ stânga și \ stânga.
  • Acum, care este modalitatea corectă de a reprezenta în acest context atât integrarea, cât și traiectoria? Luați exemplul pentru integral

    \ int {x ^ 2 \ peste 2} dx

    Nivelul (liniile) Nivelul câmpului scalar este calculat pentru prima dată de la care vine \ phi (x) = \ frac { x ^ 3} {6}. În acest caz particular, ele vor fi din ce în ce mai aproape și au o orientare în sensul crescând al câmpului. Traiectoria de pe axa X este tăiată de liniile de nivel. Numărul total de piese este valoarea integrală.

    iv id = „3cb52c83b7”

    1-diferențiat Integrarea formei \ PHI nivel de linii (x) = \ frac {x ^ 3} {6} \\ x = \ sqrt {6n}

    Invizibilă a rezultatelor integrate definite

    Rezultatele acestor integrale sunt imune la o schimbare de bază – de exemplu de scală – și sunt obținute într-o anumită formă de 1-diferențială din traiectorie . Astfel, diferite integrații pot fi identificate cu același obiect matematic cel puțin din punctul de vedere că integralul său definit este același!

Leave a Comment

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *