Uma forma diferencial é o que é colocado dentro de uma integral, mas o objetivo deste artigo é apresentar sua utilidade e exponters ao mesmo tempo sua bela estrutura local.
Se você não estiver claro, o conceito de Receptor de CO ou 1-Way recomendamos revisar fortemente o artigo antes. Também é desejável a sentir um pouco confortável com a derivada direcional, tensores e alguns álgebra exterior.
Se você já revisada tem ou tinha contactado formas diferenciais, você sabe que há 1-formas, 2- formulários e Em geral N-Forms, neste artigo, vamos usá-los passo a passo, começaremos com o …
1-diferencial de formulários
a principal motivação para entender as formas 1-diferenciais é o cálculo de integrais de linha. Nestas integrações, cada “segmento infinitesimal” de uma trajetória com uma subida está relacionada. Este tipo de índice de segmento infinitesimal para escalar é fornecido por uma forma de 1 diferencial. Um integrante linha adicionado depois de todos os escalares.
Resumindo um diferencial de uma forma mapeado segmentos infinitesimais (vectores) para escalares.
segmentos (vectores) do domínio de A 1-diferencial forma são elementos do espaço cotangente da variedade. A base dos espaços cotangentes em cada ponto é b = \ {dx_1, dx_2, …, DX_N \}. Além disso, uma vez que é um espaço vectorial, um diferencial 1-forma pode ser expressa localmente como uma combinação linear dos elementos da base, de modo \ bm \ alfa = \ sum_n f_n (xn) dx_n.
Por exemplo Para a trajectória global clássico sobre um campo tridimensional conservadora, a variedade é considerado \ mathbb R ^ 3, e um diferencial de 1-forma é um \ BMα- \ no \ BigCup_P \ mathbb R *}.
dw = f_xdx + f_ydy + f_zdz
covariance
uma ideia que tem que ser clara sobre formas diferenciais é que eles são objetos covariosos. Bem, para as formas de 1 diferencial, que são hobbies, como para formas k diferenciais que são tensores k-covariants, essa ideia de covariância é fundamental para alcançar o conceito das formas K. A covariância facilita sua interpretação geométrica, integração e sua álgebra.
Para verificar a covariância, vamos tomar como exemplo o formulário 1-diferencial \ bm \ alfa = 2xDX + 2ydy, que é derivado do campo escalar (0-forma) \ BM \ PHI (\ mathbb R ^ 2) = X ^ 2 + e ^ 2. A forma diferencial terá se comportado como um honesto (covariante), se alterar a base do espaço vetorial para outro “tamanho duplo” duplica os componentes da forma 1-diferencial. Vamos ver, por exemplo, da variedade \ mathbb R ^ 2.
Mar T_P (\ mathbb R ^ 2) o espaço tangente no ponto P da variedade \ mathbb R ^ 2 e duas bases . Um usuais B = \ esquerda \ {\ bm e_i \ direita \} = \ esquerda \ {\ frac {\ parcial} {parcial \ x}, \ frac {\ parcial} {\ y parcial} \ direita \} e de base além “duplo tamanho” B “= \ esquerda \ {\ bm e’_i \ direita \} = \ esquerda \ {2 \ frac {\ parcial} {parcial \ x}, 2 \ frac {\ parcial} {\ y parcial } \ right \}
é a base da dupla \ mathbb R {2} *, B ^ * = \ left \ {\ bm \ epsilon_i \ right \} = \ {dx, dy. Queremos encontrar agora a nova base dupla para ver como os componentes são deixados. Acontece que, por definição, \ bm \ epsilon ‘^ I (\ bm e’j) = \ delta_j ^ I, e é necessário que se a base de vector é ‘o dobro do tamanho’, a base dupla é ‘metade do tamanho’ para preservar \ delta_j ^ I, ou é b ‘^ * = \ {\ bm \ epsilon’ ^ \} = {{{dx \ ao longo de 2}, {dy \ ao longo de 2} \}.
tendo já já as bases podem ser vistos como os componentes dos vectores de permanecer em \ mathbb R *}. Recall de cima de que a covariância significa que “alterando a base do espaço vetorial para outro” tamanho duplo “duplica os componentes do formulário 1”. Bem, em seguida, para a 1-forma \ BM \ alfa = 2xDX + 2YDY
\ pequeno \ BM \ Frac {\ parcial \ Bm \ PHI} {\ parcial X} DX + \ Frac {\ parcial \ Bm \ PHI } {\ parcial e} DY = 2XDX + 2YDY \ EQU \ \ BM \ PHI} {\ parcial X}, \ Frac {\ parcial \ bm \ phi} {\ y parcial} \ direita) = \ cor {vermelho} ( 2x, 2y) \ color {preto}
e se a base dupla é alterado para o “mid-size” {B’_p} ^ * = \ {{dx \ over 2}, {d \ over 2} \ } = \ {dx ‘dy’ \}, e substituindo a expressão do unidirecional diferencial
\ pequena \ BM \ ALPHA = D \ BM \ PHI \ FRAC {\ parcial x} DX + \ Frac {\ parcial \ BM \ PHI} {\ parcial e} Dy = \ Frac {\ parcial \ bm \ phi} {\ x parcial} {2DX ‘} + \ frac {\ parcial \ bm \ phi} {\ y parcial} {2DY ‘} \ equiv \\ \ equiv \ color {red} (4x, 4y) \ Color {preto}
com o que efetivamente mudar a base de espaço vetorial para outro “duplo tamanho”, os componentes do 1-diferencial forma também aumentou em igual proporção. É cumprido que os componentes são covariantes; Esta é a partir do conceito de covariância.
Interpretação geométrica no plano
Se você visitar o artigo sobre 1-forma, você vai ver um exemplo de um 1 -forma de \ mathbb R ^ 2, que pode ser interpretada como uma série de linhas paralelas que lançam vectores.
A partir daqui, uma forma de 1 diferencial é um campo de 1 vias definido em uma variedade diferenciável. Por exemplo, para um formulário de 1 diferencial definido em \ mathbb r ^ 2 você tem que imaginar que em cada ponto você tem as linhas vermelhas de tamanho infinitesimal. A união das linhas irá traçar as curvas de nível típicas, que é tão geometricamente represente as formas de 1 diferencial. Em geral, uma forma de 1 diferencial que é derivada de um campo escalar definido em uma série N, é um objeto (N-1) -demensional. A derivação do campo escalar é realizada com a operação derivada externa.
Para exemplos desse tipo e mostrar campos escalares no \ mathbb R ^ 2 (dimensão 2) e às curvas de nível direito representam 1-formas diferenciais (dimensão 1). Duas nuances: naturalmente nenhuma linha infinitesimal é representada para cada ponto da variedade, mas algumas linhas são selecionadas para ilustrar a ideia geral. O gradiente, representado por flechas em ambos os números, induz orientação espacial às curvas de nível que irá cobrar importância quando se trata de integrar os formulários K.
interpretação geométrica no espaço
se o formulário 1-diferencial é definido no \ mathbb R ^ 3 (dimensão 3), pode ser representado em cada ponto da variedade como um elemento de espessura infinitesimal de 2 planos. A união de todos os elementos da 3-variedade, pode ser desenhada por conveniência com algumas superfícies de nível no estilo do. Estes têm espessura infinitesimal, e neste exemplo as setas representam o gradiente que induz a orientação das superfícies.
Outra interpretação geométrica da integral definida
Se você quiser uma interpretação mais prática de uma forma de 1 diferencial, Dizerei que é um objeto matemático que será operado em integrais de linha em n-variedades diferenciáveis. Se n \ GE 2 as integrais podem ser calculadas parametrizando a trajetória C tal que x \ equiv x (λ), etc., com o qual na prática calcula como n = 1.
Eu percebo que, em segundo plano, estamos trabalhando com dois objetos
- a integração (a forma de 1 diferencial), que normalmente modifica seu valor ao longo do Trajetória
- a própria trajetória, das quais geralmente não é consciente para integrais reais de função real. É o intervalo do eixo X no qual a integral é executada, na \ Small \ Color {Blue} {Black} (abaixo) seria \ esquerda e \ esquerda.
Agora, qual é o caminho certo para representar neste contexto integrando e a trajetória? Tome o exemplo para a integral
\ int {x ^ 2 \ mais 2} dx
Os níveis (linhas) Nível do campo escalar é calculado primeiro a partir do qual vem \ phi (x) = \ frac { x ^ 3} {6}. Neste caso particular, eles estarão cada vez mais próximos e terão uma orientação no crescente sentido do campo. A trajetória no eixo X é picada pelas linhas de nível. O número total de peças é o valor da integral.
\ Linhas de nível \ phi (x) = \ frac {x ^ 3} {6} \\ x = \ sqrt {6n} Engarry da integral definida
Os resultados dessas integrais são imunes a uma mudança de base – por exemplo de escala e são obtidos para o “operar” de alguma forma a forma 1-diferencial na trajetória . Assim, diferentes integrações podem ser identificadas com o mesmo objeto matemático, pelo menos, do ponto de vista que sua integral definida é a mesma!
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