Formulário diferencial

Uma forma diferencial é o que é colocado dentro de uma integral, mas o objetivo deste artigo é apresentar sua utilidade e exponters ao mesmo tempo sua bela estrutura local.

Se você não estiver claro, o conceito de Receptor de CO ou 1-Way recomendamos revisar fortemente o artigo antes. Também é desejável a sentir um pouco confortável com a derivada direcional, tensores e alguns álgebra exterior.

Se você já revisada tem ou tinha contactado formas diferenciais, você sabe que há 1-formas, 2- formulários e Em geral N-Forms, neste artigo, vamos usá-los passo a passo, começaremos com o …

1-diferencial de formulários

a principal motivação para entender as formas 1-diferenciais é o cálculo de integrais de linha. Nestas integrações, cada “segmento infinitesimal” de uma trajetória com uma subida está relacionada. Este tipo de índice de segmento infinitesimal para escalar é fornecido por uma forma de 1 diferencial. Um integrante linha adicionado depois de todos os escalares.

Resumindo um diferencial de uma forma mapeado segmentos infinitesimais (vectores) para escalares.

segmentos (vectores) do domínio de A 1-diferencial forma são elementos do espaço cotangente da variedade. A base dos espaços cotangentes em cada ponto é b = \ {dx_1, dx_2, …, DX_N \}. Além disso, uma vez que é um espaço vectorial, um diferencial 1-forma pode ser expressa localmente como uma combinação linear dos elementos da base, de modo \ bm \ alfa = \ sum_n f_n (xn) dx_n.

Por exemplo Para a trajectória global clássico sobre um campo tridimensional conservadora, a variedade é considerado \ mathbb R ^ 3, e um diferencial de 1-forma é um \ BMα- \ no \ BigCup_P \ mathbb R *}.

dw = f_xdx + f_ydy + f_zdz

covariance

uma ideia que tem que ser clara sobre formas diferenciais é que eles são objetos covariosos. Bem, para as formas de 1 diferencial, que são hobbies, como para formas k diferenciais que são tensores k-covariants, essa ideia de covariância é fundamental para alcançar o conceito das formas K. A covariância facilita sua interpretação geométrica, integração e sua álgebra.

Para verificar a covariância, vamos tomar como exemplo o formulário 1-diferencial \ bm \ alfa = 2xDX + 2ydy, que é derivado do campo escalar (0-forma) \ BM \ PHI (\ mathbb R ^ 2) = X ^ 2 + e ^ 2. A forma diferencial terá se comportado como um honesto (covariante), se alterar a base do espaço vetorial para outro “tamanho duplo” duplica os componentes da forma 1-diferencial. Vamos ver, por exemplo, da variedade \ mathbb R ^ 2.

Mar T_P (\ mathbb R ^ 2) o espaço tangente no ponto P da variedade \ mathbb R ^ 2 e duas bases . Um usuais B = \ esquerda \ {\ bm e_i \ direita \} = \ esquerda \ {\ frac {\ parcial} {parcial \ x}, \ frac {\ parcial} {\ y parcial} \ direita \} e de base além “duplo tamanho” B “= \ esquerda \ {\ bm e’_i \ direita \} = \ esquerda \ {2 \ frac {\ parcial} {parcial \ x}, 2 \ frac {\ parcial} {\ y parcial } \ right \}

é a base da dupla \ mathbb R {2} *, B ^ * = \ left \ {\ bm \ epsilon_i \ right \} = \ {dx, dy. Queremos encontrar agora a nova base dupla para ver como os componentes são deixados. Acontece que, por definição, \ bm \ epsilon ‘^ I (\ bm e’j) = \ delta_j ^ I, e é necessário que se a base de vector é ‘o dobro do tamanho’, a base dupla é ‘metade do tamanho’ para preservar \ delta_j ^ I, ou é b ‘^ * = \ {\ bm \ epsilon’ ^ \} = {{{dx \ ao longo de 2}, {dy \ ao longo de 2} \}.

tendo já já as bases podem ser vistos como os componentes dos vectores de permanecer em \ mathbb R *}. Recall de cima de que a covariância significa que “alterando a base do espaço vetorial para outro” tamanho duplo “duplica os componentes do formulário 1”. Bem, em seguida, para a 1-forma \ BM \ alfa = 2xDX + 2YDY

\ pequeno \ BM \ Frac {\ parcial \ Bm \ PHI} {\ parcial X} DX + \ Frac {\ parcial \ Bm \ PHI } {\ parcial e} DY = 2XDX + 2YDY \ EQU \ \ BM \ PHI} {\ parcial X}, \ Frac {\ parcial \ bm \ phi} {\ y parcial} \ direita) = \ cor {vermelho} ( 2x, 2y) \ color {preto}

e se a base dupla é alterado para o “mid-size” {B’_p} ^ * = \ {{dx \ over 2}, {d \ over 2} \ } = \ {dx ‘dy’ \}, e substituindo a expressão do unidirecional diferencial

\ pequena \ BM \ ALPHA = D \ BM \ PHI \ FRAC {\ parcial x} DX + \ Frac {\ parcial \ BM \ PHI} {\ parcial e} Dy = \ Frac {\ parcial \ bm \ phi} {\ x parcial} {2DX ‘} + \ frac {\ parcial \ bm \ phi} {\ y parcial} {2DY ‘} \ equiv \\ \ equiv \ color {red} (4x, 4y) \ Color {preto}

com o que efetivamente mudar a base de espaço vetorial para outro “duplo tamanho”, os componentes do 1-diferencial forma também aumentou em igual proporção. É cumprido que os componentes são covariantes; Esta é a partir do conceito de covariância.

Interpretação geométrica no plano

Se você visitar o artigo sobre 1-forma, você vai ver um exemplo de um 1 -forma de \ mathbb R ^ 2, que pode ser interpretada como uma série de linhas paralelas que lançam vectores.

Representação geométrica do Covector
Representação geométrica de um Covector

A partir daqui, uma forma de 1 diferencial é um campo de 1 vias definido em uma variedade diferenciável. Por exemplo, para um formulário de 1 diferencial definido em \ mathbb r ^ 2 você tem que imaginar que em cada ponto você tem as linhas vermelhas de tamanho infinitesimal. A união das linhas irá traçar as curvas de nível típicas, que é tão geometricamente represente as formas de 1 diferencial. Em geral, uma forma de 1 diferencial que é derivada de um campo escalar definido em uma série N, é um objeto (N-1) -demensional. A derivação do campo escalar é realizada com a operação derivada externa.

Para exemplos desse tipo e mostrar campos escalares no \ mathbb R ^ 2 (dimensão 2) e às curvas de nível direito representam 1-formas diferenciais (dimensão 1). Duas nuances: naturalmente nenhuma linha infinitesimal é representada para cada ponto da variedade, mas algumas linhas são selecionadas para ilustrar a ideia geral. O gradiente, representado por flechas em ambos os números, induz orientação espacial às curvas de nível que irá cobrar importância quando se trata de integrar os formulários K.

1-diferencial formulário 1
field \ phi (\ mathbb r ^ 2) = xy, e seu formulário de 1 diferencial correspondente \ alfa = ydx + xdy

1-diferencial no plano 2
field \ phi (\ mathbb r ^ 2) = no (x) cos (y), e sua forma de 1 diferencial correspondente α = cos (x) cos (y) dx- não (x) sem (Y) dy

interpretação geométrica no espaço

se o formulário 1-diferencial é definido no \ mathbb R ^ 3 (dimensão 3), pode ser representado em cada ponto da variedade como um elemento de espessura infinitesimal de 2 planos. A união de todos os elementos da 3-variedade, pode ser desenhada por conveniência com algumas superfícies de nível no estilo do. Estes têm espessura infinitesimal, e neste exemplo as setas representam o gradiente que induz a orientação das superfícies.

1 -Formam diferencial no espaço
field \ phi (\ mathbb r ^ 3) = xyz, e seu formulário de 1 diferencial correspondente \ alfa = yzdx + xzdy + xydz

Outra interpretação geométrica da integral definida

Se você quiser uma interpretação mais prática de uma forma de 1 diferencial, Dizerei que é um objeto matemático que será operado em integrais de linha em n-variedades diferenciáveis. Se n \ GE 2 as integrais podem ser calculadas parametrizando a trajetória C tal que x \ equiv x (λ), etc., com o qual na prática calcula como n = 1.

1-diferencial integração
Integração em \ mathbb r \ mapsto \ int {f (x) dx} 1 e em \ mathbb r ^ 2 \ mapsto {f_1 (x, y) dx + f_2 (x, y) dy} 1} \ equiv \ int} 1}

Eu percebo que, em segundo plano, estamos trabalhando com dois objetos

  • a integração (a forma de 1 diferencial), que normalmente modifica seu valor ao longo do Trajetória
  • a própria trajetória, das quais geralmente não é consciente para integrais reais de função real. É o intervalo do eixo X no qual a integral é executada, na \ Small \ Color {Blue} {Black} (abaixo) seria \ esquerda e \ esquerda.

    Agora, qual é o caminho certo para representar neste contexto integrando e a trajetória? Tome o exemplo para a integral

    \ int {x ^ 2 \ mais 2} dx

    Os níveis (linhas) Nível do campo escalar é calculado primeiro a partir do qual vem \ phi (x) = \ frac { x ^ 3} {6}. Neste caso particular, eles estarão cada vez mais próximos e terão uma orientação no crescente sentido do campo. A trajetória no eixo X é picada pelas linhas de nível. O número total de peças é o valor da integral.

    1-diferencial integração de forma \ Linhas de nível \ phi (x) = \ frac {x ^ 3} {6} \\ x = \ sqrt {6n}

    Engarry da integral definida

    Os resultados dessas integrais são imunes a uma mudança de base – por exemplo de escala e são obtidos para o “operar” de alguma forma a forma 1-diferencial na trajetória . Assim, diferentes integrações podem ser identificadas com o mesmo objeto matemático, pelo menos, do ponto de vista que sua integral definida é a mesma!

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