Noeud (mathématique)

Intuitivement, un noeud est une courbe fermée dans ℜ 3 {\ displaystyle \ RE 3}

{\ displaystyle \ Re 3}

sans autonome.

Plus formellement, il peut être défini comme une application F: S 1 → ℜ 3 {\ DisplayStyle F: S 1 → }}

{\ DisplayStyle F: S 1 \ RightArrore \ re 3}

continu et injectif, et il est généralement identifié avec l’image de cette application. Beaucoup de demandes de théorie des nœuds doivent distinguer les nœuds, un problème non encore résolu aujourd’hui.

équivalence nudoseditar

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il n’est pas possible en continu se déforment un nœud de trèfle à son image spéculaire.

Ce nœud n’est pas équivalent au précédent.

intuitivement, nous dirons que deux nœuds sont équivalents si nous pouvons déformer un . dans l’autre continue sans les briser des tentatives infructueuses pour capturer Nu cette réalité physique sont:

  • penser que ce processus pourrait se faire par un homéomorphisme entre les images. Mais comme toute application continue et injective entre S 1 {\ DisplayStyle S 1}
    {\ DisplayStyle S 1}

    et son image , il est un homéomorphisme, tout noeud serait homeomorph à la circonférence canonique de 1 {\ DisplayStyle S 1}

    {\ DisplayStyle S 1}

    Et donc, à tout autre, la prise La distinction de nœuds impossible avec cette méthode.

  • pense à le faire à travers un homéomorphisme de R3 qui prend une image dans l’autre. Mais il y a des nœuds comme le noeud de trèfle et son image spéculaire qui ne peut être convertie physiquement l’une dans l’autre, bien qu’il existe un homéomorphisme de l’environnement (réflexion spéculaire) qui en prend un dans l’autre. La démonstration de cette affirmation nécessite des outils non triviaux.

Nous observons qu’il ne suffit pas d’avoir un homéomorphisme F de R3 qui conduit f dans F ‘. Ce serait la dernière étape d’un film à partir de laquelle nous avons besoin de toutes les étapes intermédiaires. Mathématiquement, ce film est reflété avec une isotopie de l’environnement F (- T) qui commence par T = 0 comme identité en R3 et se termine dans T = 1 portant l’image du premier noeud dans la seconde.

Définition formelle de EquivalenceSeditar

Deux noeuds F, F ‘: S 1 → ℜ 3 {\ DisplayStyle F, F’: S 1 \ TO \ R 3}

{\ DisplayStyle F, F « : S 1 \ TO \ RE 3}':S^{1}\to \Re ^{3}}

sont équivalentes quand il y a une application continue F: ℜ 3 × → ℜ 3 {\ DisplayStyle F : \ RE 3 \ times \ TO \ RE }}

{\ DisplayStyle F: \ R<3} \ times \ à \ re 3}

de telle sorte que: i) f (-, 0) = id ℜ 3 {\ displaystyle f (-, 0) = \ mathrm {id} _ {\ RE 3}}}

{\ displayStyle F (-, 0) = \ mathrm {ID} _ {\ R 3}}

ii) f (f (s), 1) = f « (s) {\ displaystyle f (f (s), 1) = f ‘(s)}

{\ DisplayStyle F (F (s), 1) = F' (s)}'(s)}

pour chaque S ∈ de 1 {\ DisplayStyle S \ Dans S 1}

{\ DisplayStyle S \ Dans S 1}

iii) Chaque F (-, T): ℜ 3 → ℜ 3 {\ DisplayStyle F (-, T): \ R 3 \ à \ RE 3}

{\ displayStyle F (-, T): \ R 3 \ to {3}}

, avec t ∈ {\ displaystyle T \ in}

{\ Displaystyle t \ in}

, c’est un homéomorphisme.

Lorsque les conditions ci-dessus sont remplies, nous disons qu’il y a une isotopie de l’environnement qui porte F en F ‘.

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