Nodo (matematica)

intuitivamente, un nodo è una curva chiusa in ℜ 3 {\ displaystyle \ re 3}

{\ displaystyle \ Re 3}

senza autointesi.

Più formalmente, può essere definito come un’applicazione f: s 1 → ℜ 3 {\ displaystyle f: s 1 → }}

{\ DisplayStyle F: S 1 \ RightArow \ re 3}

continuo e iniettivo, e di solito è identificato con l’immagine di questa applicazione. Molte delle applicazioni teoriche dei nodi devono distinguere i nodi, un problema non ancora risolto oggi.

Equivalenza NudosedesiDaditar

non è possibile Deforma continuamente un nodo di trifoglio nella sua immagine speculare.

Questo nodo non è equivalente al precedente.

Intuitivamente, diremo che due nodi sono equivalenti se possiamo deformarsi uno nell’altro continuamente senza rompersi. I tentativi nudi infruttuosi di catturare questa realtà fisica sono:

  • per pensare che questo processo possa essere fatto attraverso un homeomorfism tra le immagini. Ma come qualsiasi applicazione continua e iniettiva tra s 1 {\ displaystyle s 1}
    {\ displaystyle s 1}

    e la sua immagine è un homeomorfism, tutto Knot sarebbe homeomorph alla circonferenza canonica s 1 {\ displaystyle s 1}

    {\ displaystyle s 1}

    e, quindi, a qualsiasi altro, La distinzione dei nodi impossibile con questo metodo.

  • Pensa a farlo attraverso un homeomorfismo di R3 che prende un’immagine nell’altra. Ma ci sono nodi come il nodo del trifoglio e la sua immagine speculare che non può essere convertita fisicamente l’uno nell’altro, anche se c’è un homeomorfismo dell’ambiente (riflessione speculare) che ne prende uno in un altro. La dimostrazione di questa affermazione richiede strumenti non banale.

Osserviamo che non è sufficiente avere un homeomorfismo f di R3 che conduce f in F ‘. Sarebbe l’ultimo passo di un film da cui abbiamo bisogno di tutti i passaggi intermedi. Matematicamente, questo film si riflette con un’isotopia dell’ambiente f (-, t) che inizia con T = 0 come identità in R3 e termina in T = 1 portando l’immagine del primo nodo nel secondo.

Definizione formale di equivalendiDeditar

Due nodi f, f ‘: s 1 → ℜ 3 {\ displaystyle f, f’: s 1 \ to \ r 3}

{\ DisplayStyle F, F ': s 1 \ to \ re 3}':S^{1}\to \Re ^{3}}

equivalente quando c’è un’applicazione continua f: ℜ 3 × → ℜ 3 {\ DisplayStyle f : \ Re 3 \ volte \ to \ re }}

{\ displaystyle f: \ r 3 \ volte \ to \ re 3}

tali che: i) f (-, 0) = id ℜ 3 {\ displaystyle f (-, 0) = \ mathrm {id} _ {\ re 3}}}

{\ \ Displaystyle f (-, 0) = \ mathrm {id} _ {\ r 3}}

ii) f (f (s), 1) = f ‘(s) {\ displaystyle f ( f (s), 1) = f ‘(s)}

{\ displaystyle f (f / s), 1) = f' (s)}'(s)}

per ogni s ∈ s 1 {\ displaystyle s \ in s 1}

iii) ciascuno f (-, t): ℜ 3 → ℜ 3 {\ displaystyle f (-, t): \ r 3 \ to \ re 3}

{\ Displaystyle f (-, t): \ r 3 \ to {3}}

, con t ∈ {\ displaystyle t \ in}

{\ Displaystyle t \ in}

, è un homeomorfism.

Quando le condizioni di cui sopra sono soddisfatte, diciamo che c’è un’istopia dell’ambiente che porta F in F ‘.

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