Forma differenziale

Una forma differenziale è ciò che viene inserito all’interno di parte integrale, ma l’obiettivo di questo articolo è quello di presentare la loro utilità e esponer allo stesso tempo la loro bella struttura locale.

Se non si è chiari il concetto di ricevitore di CO o 1-way, ti consigliamo vivamente di rivedere l’articolo prima. È anche comodo sentire qualcosa di comodo con derivati direzionali, tenditori e un po ‘fuori algebra.

Se hai già controllato o entrato in contatto con forme differenziali, saprai che ci sono 1 modulo, 2 – moduli e in genere N-formes, in questo articolo li indosseremo passo dopo passo, inizieremo con il …

1-moduli differenziali

il principale Motivazione Per comprendere le forme 1-differenziale È il calcolo degli integrali della linea. In questi integrali ogni “segmento infinitesimale” di una traiettoria con una salita è correlata. Questo tipo di rapporto di segmento infinitesimale da salire è fornito da una forma di 1-differenziale. Un integrale di linea aggiungerà quindi tutti gli scalari.

Summing Up, un modulo differenziale rende i segmenti infinitesimali (vettori) corrispondenti a scalare.

i segmenti (vettori) del dominio di A A 1-forma differenziale sono elementi dello spazio del cotongente della varietà. La base degli spazi cotangienti in ogni punto è B = \ {DX_1, DX_2, …, DX_N \}. Inoltre, poiché è uno spazio vettoriale, un modulo differenziale può essere espresso localmente come una combinazione lineare degli elementi della base, quindi \ bm \ alfa = \ sum_n f_n (x_n) dx_n.

Ad esempio per il classico di traiettoria completo su un campo tridimensionale conservativo, la varietà considerata è \ MathBB R ^ 3 e un modulo diverso 1 è A \ BMα- \ in \ BIGCUP_P \ MathBB R *}.

DW = F_XDX + F_YDY + F_ZDZ

Covariance

Un’idea che deve essere chiara sulle forme differenziali è che sono oggetti covari. Bene per le forme 1-differenziale, che sono Hobby, come per i forme di k-differenziali che sono tensori k-covariart, questa idea di covarianza è la chiave per raggiungere il concetto dei moduli K. La covarianza facilita la sua interpretazione geometrica, l’integrazione e la sua algebra.

Per verificare la covarianza prenderà come esempio il modulo 1-differenziale \ BM \ ALPHA = 2XDX + 2YDY, che è derivato dal campo scalare (0-Shape) \ BM \ PHI (\ MathBB R ^ 2) = X ^ 2 + E ^ 2. La forma differenziale si sarebbe comportata come un onesto (covariante), se la modifica della base dello spazio vettoriale in un’altra “doppia dimensione” duplica i componenti della forma di 1-differenziale. Vediamo, ad esempio, sulla varietà \ MathBB R ^ 2.

Sea T_P (\ MathBB R ^ 2) lo spazio tangente in un punto p della varietà \ mathbb r ^ 2 e due basi . Uno dei sempre b = \ sinistra \ {\ bm e_i \ destra \} = \ \ sinistra \ \ fra {\ partial} {\ partial x}, \ frac {\ partial} {\ partial e} \ destra \} in aggiunta, La base “Doppia dimensione” B ‘= \ Loft \ {\ BM E’_i \ destra \} = \ sinistra \ {2 \ frac {\ partial} {\ frac {\ partial} {\ partial x}, 2 \ frac {\ partial} {\ partial e} \ destra \}

mare La base del dual \ mathbbb r *, b ^ * = \ sinistra \ {\ bm \ epsilon_i \ destra \ \} = \ {dx, dy. Vogliamo trovare ora la nuova doppia base per vedere come vengono lasciati i componenti. Si scopre che per definizione \ bm \ epsilon ‘^ i (\ bm e’j) = \ delta_j ^ i, ed è necessario che se la base vettoriale è “doppia dimensione”, la doppia base è “metà dimensione” a preservare \ delta_j ^ i, o è b ‘^ * = \ {\ bm \ epsilon’ ^ \} = {{{dx \ over 2}, {dy \ over 2}}.

avendo Già già le basi possono essere viste come i componenti dei vettori rimangono in \ MathBB R *}. Richiama dall’alto che la covarianza significa che “cambiando la base dello spazio vettoriale a un’altra” dimensione doppia “duplica i componenti del modulo 1”. Bene, quindi per il modulo 1-modulo \ BM \ alfa = 2xdx + 2ydy

\ small \ bm \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partial x} dx + \ frac {\ partial \ bm \ phi } {\ Partial e} dy = 2xdx + 2ydy \ equ \ \ \ bm \ phi} {\ \ \ bm \ phi} {\ partial x}, \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partial e} \ destra) = \ colore {rete} ( 2x, 2Y) \ Color {Black}

e se la doppia base viene modificata nella “metà della dimensione” {B’_P} ^ * = \ {{dx \ over 2}, {dy \ over 2} \} = \ {Dx ‘, dy’ \} e sostituire nell’espressione della forma di 1-differenziale

\ small \ bm \ alpha = d \ bm \ phi \ frac {\ bm \ phi \ frac {\ partial x} dx + \ frac { \ Parziale \ bm \ phi} {\ partial and} dy = \ frac {\ partial \ Bm \ phi {2dx ‘}} {2dx’} + \ frac {\ partial \ BM \ phi {\ partial and} {2dy ‘} \ Equiv \\ \ Tosaer \ Color {Network} (4x, 4Y) \ Color {Nero}

Con ciò che cambia efficacemente la base dello spazio vettoriale su un’altra “doppia dimensione”, i componenti della forma 1-differenziale sono anche aumentato in parità di proporzione. È soddisfatto che i componenti sono covariani; Questo è dal concetto di covarianza.

interpretazione geometrica nel piano

Se visiti l’articolo circa 1-way vedrai un esempio di un 1 -Form di \ MathBB R ^ 2 che può essere interpretato come una serie di linee parallele che lanciano vettori.

Rappresentazione geometrica del comitato
Rappresentazione geometrica di un crovector

Da qui A 1-FORM differenziale è un campo a 1 senso definito su una varietà differenziale. Ad esempio per una forma differenziale 1 forma definita su \ MathBB R ^ 2 devi immaginare che in ogni punto hai le linee rosse di dimensioni infinitesimali. L’unione delle linee rintraccerà le tipiche curve di livello, che è come geometricamente rappresentano le forme di 1-differenziale. In generale, una forma differenziale 1 derivata da un campo scalare definito su una varietà N-varietà, è un oggetto (N-1) -Demensionale. La derivazione del campo scalare viene effettuata con l’operazione derivata esterna.

per esempi di questo tipo e mostrare campi scalari su \ MathBB R ^ 2 (Dimension 2), e alle curve a livello giusto rappresentano 1-forme differenziali (dimensione 1). Due sfumature: naturalmente nessuna linea infinitesimale è rappresentata per ogni punto della varietà, ma alcune linee sono selezionate per illustrare l’idea generale. Il gradiente, rappresentato da frecce in entrambe le figure, induce l’orientamento spaziale alle curve di livello che addebitano un’importanza quando si tratta di integrare i moduli K.

1-forma differenziale 1
Campo di scala \ PHI (\ MathBB R ^ 2) = XY, e il suo corrispondente modulo 1-differenziale \ alpha = ydx + xdy

1-forma differenziale nell'appartamento 2
Scale Field \ PHI (\ MathBB R ^ 2) = No (x) cos (y) e la sua corrispondente 1-differenziale forma α = cos (x) cos (y) dx- no (x) senza (Y) dy

Interpretazione geometrica nello spazio

Se il modulo 1-differenziale è definito su \ MathBB R ^ 3 (dimensione 3), può essere rappresentato in ogni punto della varietà come elemento di spessore infinitesimale a 2 piani. L’unione di tutti gli elementi della 3 varietà, può essere disegnata con comodità con alcune superfici di livello nello stile del. Questi hanno uno spessore infinitesimale, e in questo esempio le frecce rappresentano il gradiente che induce l’orientamento delle superfici.

1 -Forma differenziale nello spazio
Campo di scala \ PHI (\ MathBB R ^ 3) = XYZ e il suo modulo corrispondente 1-differenziale \ ALPHA = YZDX + XZDY + XYDZ

Un’altra interpretazione geometrica dell’integra integrale definita

Se si desidera un’interpretazione più pratica di una forma di 1-differenziale, Dirò che è un oggetto matematico che verrà gestito su integrali di linea su n-varietà differenziabili. Se n \ GE 2 gli integrali possono essere calcolati parametrizzando la traiettoria c tale che x \ equiv x (λ), ecc., Con quale nella pratica calcola come su n = 1.

1-D989ACC556 1-FORMA DIFFERENZIALE Integrazione”>
Integrazione in \ MathBB R \ MAPSTO \ INT {F (X) DX} 1 E IN \ MathBB R ^ 2 \ mapsto {f_1 (x, y) dx + f_2 (x, y) dy} 1} \ equiv \ int {lambda) d \ lambda} 1}

noto che, in background, stiamo lavorando con due oggetti

  • l’integrazione (la forma di 1-differenziale), che normalmente modifica il suo valore lungo il Traiettoria
  • La traiettoria stessa, di cui di solito non è consapevole per reali integrali reali variabili. È la gamma dell’asse X su cui viene eseguito l’integrale, nel \ piccolo \ colore {blu} \ colore {nero} (sotto) sarebbe \ sinistra e \ sinistra.

Ora, qual è il modo giusto per rappresentare in questo contesto sia l’integrazione che la traiettoria? Prendere l’esempio per l’integrale

\ int {x ^ 2 \ over 2} DX

I livelli (linee) il livello del campo scalare viene prima calcolato da cui viene \ phi (x) = \ frac { x ^ 3} {6}. In questo caso particolare, saranno sempre più vicini e hanno un orientamento nel crescente senso del campo. La traiettoria sull’asse x viene tritata dalle linee di livello. Il numero totale di pezzi è il valore dell’integrale.

1-figura differenziale integrazione
\ PHI Level linee (x) = \ frac {x ^ 3} {6} \ x x = \ sqrt {6n}

ENVAVIA DELL’INTERARE INTEGRALE

I risultati di questi integrali sono immune a un cambiamento di base – ad esempio di scala e sono ottenuti al “funzionamento” in qualche modo la forma di 1-differenziale sulla traiettoria . Pertanto, le diverse integrazioni possono essere identificate con lo stesso oggetto matematico almeno dal punto di vista che il suo integrale definito è lo stesso!

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