FORMA DIFERENCIAL (Galego)

Unha forma diferencial é o que se pon dentro dunha integral, pero o obxectivo deste artigo é presentar a súa utilidade e exponedores ao mesmo tempo a súa fermosa estrutura local.

Se non está claro o concepto de receptor de co ou 1-way recomendamos firmemente revisar o artigo antes. Tamén é conveniente sentir algo cómodo con derivados direccionais, tensioneiros e un pouco de álxebra exterior.

Se xa comprobou ou entrou en contacto con formas diferenciais, saberá que hai 1 formas, 2 – Formularios e en xeral N-formularios, neste artigo imos usalos paso a paso, imos comezar co …

1-formularios diferenciales

o principal Motivación para comprender as formas 1-diferencial é o cálculo das integrales de liña. Nestas integrais cada “segmento infinitesimal” dunha traxectoria con unha subida está relacionada. Este tipo de ratio de segmento infinitesimal para subir é proporcionada por unha forma de 1 diferencial. Unha integral de liña engadirá todos os escalares.

Resumouse, un formulario diferencial fai que os segmentos infinitesimales corresponden con escalar.

Os segmentos (vectores) do dominio dun a 1-Forma diferencial son elementos do espazo cotangente da variedade. A base dos espazos de cotanxentes en cada punto é b = \ {dx_1, dx_2, …, dx_n \}. Ademais, porque é un espazo vectorial, un formulario diferencial 1 pode expresarse localmente como unha combinación lineal dos elementos da base para que \ bm \ alpha = \ sum_n f_n (x_n) dx_n.

Por exemplo, para a traxectoria global clásica nun campo tridimensional conservador, a variedade considerada é \ mathbb r ^ 3 e un formulario diferencial é un \ bmα- \ in \ bigcup_p \ mathbb r *}.

dw = f_xdx + f_ydy + f_zdz

covarianza

Unha idea que ten que ser clara sobre as formas diferenciais é que son obxectos covariados. Ben para as formas de 1 diferencial, que son afeccións, en canto ás formas K-K-Covariant, esta idea de covarianza é fundamental para alcanzar o concepto das formas K. A covarianza facilita a súa interpretación xeométrica, a integración ea súa álxebra.

Para comprobar a covarianza que teremos como exemplo o formulario 1-diferencial \ bm \ alpha = 2xdx + 2ydy, que se deriva do campo escalar (Forma de 0) \ b \ phi (\ mathbb r ^ 2) = x ^ 2 + e ^ 2. A forma diferencial comportarase como un honesto (covariante), se cambiar a base do espazo vectorial a outro “dobre tamaño” duplica os compoñentes da forma 1-diferencial. Vexámolo, por exemplo, na variedade \ mathbb r ^ 2.

mar t_p (\ mathbb r ^ 2) o espazo tangente nun punto p da variedade \ mathbb r ^ 2 e dúas bases .. Un de sempre b = \ esquerda \ {\ bm e_i \ right \} = \ andar \ \ fra {\ parcial} {\ parcial x}, \ frac {\ parcial} {\ parcial e} \ right \} ademais, ademais, a base “dobre tamaño” b ‘= \ loft \ {\ bm e’_i \ right \} = \ esquerda \ {2 \ frac {\ parcial} {\ parcial x}, 2 \ frac {\ parcial} {\ parcial e} \ dereito \}

mar da base do dobre \ mathbb r *, b ^ * = \ esquerda \ {\ bm \ epsilon_i \ right \} = \ {DX, DY. Queremos atopar agora a nova base dual para ver como se deixan os compoñentes. Resulta que por definición \ bm \ epsilon ‘^ i (\ bm e’j) = \ delta_j ^ i, e é necesario que se a base de vectores é “dobre tamaño”, a base dual é “medio tamaño” a preservar \ delta_j ^ i, ou é b ‘^ * = \ {\ bm \ epsilon’ ^ \} = {{{dx \ ^ \} = {{{DX Over 2}, {DY \ a máis de 2} \}.

Tendo Xa xa se poden ver as bases como os compoñentes dos vectores permanecen en \ mathbb r *}. Teña en conta que desde arriba que a covarianza significa que “cambiando a base do espazo vectorial a outro” dobre tamaño “duplica os compoñentes do formulario 1”. Ben, entón para o 1-Form \ bm \ alfa = 2xdx + 2ydy

\ pequeno \ bm \ frac {\ parcial \ b \ phi} {\ parcial x} dx + \ frac {\ parcial \ bm \ phi } {\ Parcial e} dy = 2xdx + 2ydy \ equ \ bm \ phi} {\ parcial x}, \ frac {\ parcial \ bt \ phi} {\ parcial e} \ right) = \ cor {red} ( 2x, 2Y) \ cor {black}

e se a base dobre cambia ao “tamaño medio” {B’_P} ^ * = \ {{DX \ máis 2}, {dy \ a máis de 2} \} = \ {Dx ‘, dy’ \} e substituíndo na expresión da forma 1-diferencial

\ pequena \ bm \ alpha = D \ bm \ phi \ frac {\ parcial x} dx + frac { \ Parcial \ bm \ phi} {\ partial and} dy = \ frac {\ parcial \ bm \ phi} {\ parcial x} {2dx ‘} + frac {\ partial \ bm \ phi {\ parcial e} {2dy ‘} \ equiv \\ MOWER \ cor {Network} (4x, 4Y) \ cor {black}

co que cambiar de forma eficaz a base espacial vectorial a outro “dobre tamaño”, os compoñentes da forma 1-diferencial son tamén aumentou en igual proporción. Realízase que os compoñentes son covariarts; Isto é do concepto de covarianza.

Interpretación xeométrica no avión

Se visita o artigo de 1-Way, verá un exemplo de 1 -Form de \ mathbb r ^ 2 que pode ser interpretado como unha serie de liñas paralelas que arroxan vectores.

representación xeométrica de covector
representación xeométrica dun covector

A partir de aquí un formulario de 1-diferencial é un campo de 1 vía definido nunha variedade diferenciable. Por exemplo, para un formulario diferencial definido en \ mathbb r ^ 2 tes que imaxinar que en cada punto tes as liñas vermellas de tamaño infinitesimal. A unión das liñas rastrexará as curvas típicas de nivel, que é tan xeométricamente representan as formas de 1 diferencial. En xeral, unha forma de 1-diferencial que se deriva dun campo escalar definido nunha variedade N, é un obxecto (N-1) -Demensional. A derivación do campo escalar realízase coa operación derivada externa.

Para exemplos deste tipo e amosar campos escalares en \ mathbb r ^ 2 (dimensión 2) e ás curvas de nivel correcto representan Formularios diferenciales (Dimensión 1). Dous matices: naturalmente, ningunha liña infinitesimal está representada para cada punto da variedade, pero algunhas liñas son seleccionadas para ilustrar a idea xeral. O gradiente, representado por frechas en ambas as cifras, induce a orientación espacial ás curvas do nivel que cobrará a importancia cando se trata de integrar as formas K.

1-formulario diferencial 1
Campo de escala \ Phi (\ mathbb r ^ 2) = xy, ea súa forma de 1-diferencial correspondente \ Alpha = YDX + XDY

1-formulario diferencial no plano 2
Campo de escala \ Phi (\ mathbb r ^ 2) = non (x) cos (y), ea súa forma de 1-diferencial correspondente α = cos (x) cos (y) dx- non (x) sen (Y) dy

interpretación xeométrica no espazo

Se o formulario 1-diferencial está definido en \ mathbb R ^ 3 (Dimensión 3), pode ser representado en cada punto da variedade como un elemento de espesor infinitesimal de 2 planos. A unión de todos os elementos da variedade 3, pode ser debuxada por conveniencia con algunhas superficies de nivel no estilo do. Estes teñen espesor infinitesimal e, neste exemplo, as frechas representan o gradiente que induce a orientación das superficies.

1 -Forma diferencial no espazo
Campo de escala \ Phi (\ mathbb r ^ 3) = xyz, ea súa forma de 1-diferencial correspondente \ alpha = yzdx + xzdy + xydz

Outra interpretación xeométrica da integral definida

Se desexa unha interpretación máis práctica dun formulario de 1-diferencial, Vou dicir que é un obxecto matemático que se operará en integrais en liña en variedades N diferenciables. Se n \ GE 2 as integrantes poden ser calculadas por parametrizando a traxectoria C tal que x \ equiv X (λ), etc., coa cal na práctica calcular como en n = 1.

integración de formulario 1-diferencial
integración en \ mathbb r \ mapsto \ int {f (x) dx} 1 e en \ mathbb r ^ 2 \ mapsto {f_1 (x, y) dx + f_2 (x, y) dy} 1} \ equiv \ int {lambda) d \ lambda} 1}

Observo que, en segundo plano, estamos a traballar con dous obxectos

  • a integración (o formulario 1-diferencial), que normalmente modifica o seu valor ao longo do Traxectoria
  • A propia traxectoria, da que non adoita ser consciente para as integrales reais de función real variable. É o rango do eixo x sobre o que se realiza a integral, na \ cor pequena \ cor {blue} \ cor {black} (abaixo) sería \ esquerda e \ á esquerda.

Agora, cal é a forma correcta de representar neste contexto tanto a integración como a traxectoria? Tomemos o exemplo para o integrante

\ int {x ^ 2 \ ao longo de 2} dx

Os niveis (liñas) nivel do campo escalar é calculada primeiro a partir da cal se trata \ phi (x) = \ frac { x ^ 3} {6}. Neste caso particular, estarán cada vez máis próximos e terán unha orientación no crecente sentido do campo. A traxectoria do eixo X está picada polas liñas de nivel. O número total de pezas é o valor da integral.

1-integración de forma diferencial
Liñas de nivel PHI (x) = \ frac {x ^ 3} {6} \\ x = \ sqrt {6n}

Envidar da integral definida

Os resultados destas integrales son inmunes a un cambio base – por exemplo de escala, e obtense ao “operar” de algunha maneira a forma 1-diferencial sobre a traxectoria .. Deste xeito, poden identificarse diferentes integracións co mesmo obxecto matemático, polo menos desde o punto de vista que a súa integral definida é a mesma.

Leave a Comment

O teu enderezo electrónico non se publicará Os campos obrigatorios están marcados con *