Formulaire différentiel

Une forme différentielle est ce qui est mis à l’intégrale, mais l’objectif de cet article est de présenter leur utilité et leurs exponeurs en même temps leur belle structure locale.

Si vous n’êtes pas clairement défini le concept de récepteur de CO ou d’un moyen, nous vous recommandons vivement d’examiner l’article avant. Il est également pratique de ressentir quelque chose d’à l’aise avec un dérivé directionnel, des tendeurs et une petite algèbre extérieure.

Si vous avez déjà vérifié ou êtes entré en contact avec des formes différentielles, vous saurez qu’il y a 1-Formes, 2 – Formulaires et dans le général N-Forms, dans cet article, nous allons les porter étape par étape, nous commencerons par …

Formes différentielles

la principale Motivation Pour comprendre les formes 1-différentielles, c’est le calcul des intégrales de ligne. Dans ces intégrales, chaque « segment infinitésimal » d’une trajectoire avec une montée est liée. Ce type de ratio de segment infinitésimal à grimper est fourni par une forme à 1 différentiel. Une ligne intégrale ajoutera ensuite tous les scalaires.

résumée, une forme différentielle fait des segments infinitésimaux (vecteurs) correspondant à scalaire.

Les segments (vecteurs) du domaine d’un La forme 1-différentielle est des éléments de l’espace cotanndent de la variété. La base des espaces cotangents à chaque point est B = \ {DX_1, DX_2, …, DX_N \}. De plus, comme il s’agit d’un espace vectoriel, une forme différentielle 1 peut être exprimée localement comme une combinaison linéaire des éléments de la base SO \ BM \ alpha = \ sum_n f_n (x_n) dx_n.

Par exemple, pour la trajectoire complète classique sur un champ essentiel tridimensionnel, la variété considérée est \ mathbb r ^ 3 et un formulaire différentiel 1 est un \ bmα- \ in \ bIGCUP_P \ mathbb r *}.

DW = F_XDX + F_YDY + F_ZDZ

COVARANCE

Une idée qui doit être claire sur les formes différentielles est qu’ils sont des objets covarieux. Eh bien, pour les formes 1-différentielles, qui sont des passe-temps, comme pour les formes k-covariantes qui sont des tenseurs k-covariants, cette idée de Covariance est essentielle pour atteindre le concept des formes K. La covariance facilite son interprétation géométrique, son intégration et son algèbre.

Pour vérifier la covariance, nous prendrons l’exemple de la forme 1-différentiel \ BM \ alpha = 2xdx + 2ydy, qui est dérivé du champ scalaire. (0-forme) \ bm \ phi (\ mathbb r ^ 2) = x ^ 2 + et ^ 2. La forme différentielle se serait comportée comme un honnête (covariant), si le changement de la base de l’espace vectoriel vers une autre « double taille » duplique les composants de la forme à 1 différentiel. Voyons, par exemple, sur la variété \ mathbb r ^ 2.

mer T_P (\ mathbb r ^ 2) L’espace tangent à un point P de la variété \ mathbb r ^ 2 et deux bases . Un de toujours b = \ gaucher \ {\ bm e_i \ droite \} = \ gauche \ \ fra {\ partielle} {\ partielle x}, \ frac {\ partital} {\ partielle et} \ droite \} De plus, La base « Double taille » B ‘= \ loft \ {\ bm e’_i \ droite \} = \ gaucher \ {2 \ frac {\ partial} {\ partielle x}, 2 \ frac {\ partielle} {\ partielle et} \ droite \}

Sea la base de la double \ mathbb r *, b ^ * = \ gone \ {\ bm \ epsilon_i \ droite \} = \ {dx, dy. Nous voulons trouver maintenant la nouvelle base double pour voir comment les composants sont laissés. Il s’avère que par définition \ bm \ epsilon ‘^ i (\ bm e’j) = \ delta_j ^ i, et il est nécessaire que si la base de vecteur est « double taille », la double base est « moitié taille » à préserver \ delta_j ^ i, ou est b ‘^ * = \ \ \ \ bm \ epsilon’ ^ \} = {{{dx \ sur 2}, {dy \ sur 2} \}.

avoir Déjà déjà, les bases peuvent être considérées comme les composants des vecteurs restent dans \ mathbb r *}. Rappelez-vous d’au-dessus que la covariance signifie que « en modifiant la base de l’espace vectoriel à une autre » double taille « duplique les composants de la forme 1 ». Eh bien, alors pour la formulaire \ bm \ alpha = 2xdx + 2ydy

\ petit \ bm \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partielle x} dx + \ frac {\ partielle \ bm \ phi } {\ Partial et} dy = 2xdx + 2ydy \ \ \ bm \ \ bm \ phi} {\ partielle x}, \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partielle et} \ droite) = \ couleur {réseau} ( 2x, 2y) \ couleur {black}

et si la base double est modifiée en « demi-taille » {b’_p} ^ * = \ {{dx \ sur 2}, {dy \ sur 2} \} \ \} = \ {Dx ‘, dy’ \ \ \ \ \}, et substituant dans l’expression de la forme 1-différentielle

\ petit \ bm \ alpha = d \ bm \ phi \ frac {\ partielle x} dx + \ frac { \ Partiel \ bm \ phi} {\ partielle et} dy = \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partial x} {2DX ‘} + \ frac {\ partial \ bm \ phi {\ partial et} {2dy } \ equiv \\ \ tondeuse \ couleur {réseau} (4x, 4y) \ couleur {noire}

avec ce qui change efficacement la base de l’espace vectorielle vers une autre « double taille », les composants de la forme à 1 différentiel sont également augmenté en proportion égale. Il est rempli que les composants sont des covariants; Ceci est du concept de covariance.

interprétation géométrique dans l’avion

Si vous visitez l’article sur 1-Way, vous verrez un exemple de 1 -Form de \ mathbb r ^ 2 qui peut être interprété comme une série de lignes parallèles qui jettent des vecteurs.

Représentation géométrique de covecteur

Représentation géométrique d’un covecteur

Un formulaire à 1 différentiel est un champ à 1 voie défini sur une variété différenciable. Par exemple, pour une forme différentielle définie sur \ mathbb r ^ 2, vous devez imaginer qu’à chaque point, vous avez les lignes rouges de taille infinitésimale. L’Union des lignes tracera les courbes de niveau typiques, ce qui représente géométriquement les formes à 1 différentiel. En général, une forme à 1 différentiel dérivée d’un champ scalaire défini sur une N-variété est un objet (N-1) -Demension. La dérivation du champ scalaire est effectuée avec l’opération dérivée externe.

pour des exemples de ce type et afficher des champs scalaires sur \ mathbb r ^ 2 (dimension 2), et aux courbes de niveau droit représentent 1-formes différentielles (dimension 1). Deux nuances: Naturellement, aucune ligne infinitésimale n’est représentée pour chaque point de la variété, mais certaines lignes sont sélectionnées pour illustrer l’idée générale. Le gradient, représenté par des flèches dans les deux figures, induit une orientation spatiale aux courbes de niveau qui facturera l’importance lorsqu’il s’agit d’intégrer les formes K.

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1-Différentiel de formulaire 1

Champ d’échelle \ Phi (\ mathbb r ^ 2) = XY, et sa forme 1-différentielle correspondante \ alpha = ydx + xdy
1-Différentiel dans l'appartement 2 champ d’échelle \ phi (\ mathbb r ^ 2) = non (x) cos (y) cos (y) et sa forme différentielle correspondante α = cos (x) cos (y) dx- non (x) sans (Y) DY

Interprétation géométrique dans l’espace

Si la forme à 1 différentiel est définie sur \ mathbb R ^ 3 (dimension 3) peut être représenté à chaque point de la variété comme un élément d’épaisseur infinitésimal 2 plat. L’union de tous les éléments de la 3-variété peut être tirée par une commodité avec certaines surfaces de niveau dans le style de la. Celles-ci ont une épaisseur infinitésimale et, dans cet exemple, les flèches représentent le gradient qui induit l’orientation des surfaces.

1 -Forma différentiel dans l’espace
champ d’échelle \ phi (\ mathbb r ^ 3) = xyz et sa forme à 1 différentiel correspondant \ alpha = yzdx + xzdy + xydz

une autre interprétation géométrique de l’intégrale définie

si vous souhaitez une interprétation plus pratique d’une forme de 1-différentielle, Je dirai qu’il s’agit d’un objet mathématique qui sera exploité sur des intégrales en ligne sur des variétés N-Variétés différentes. Si N \ GE 2 Les intégrales peuvent être calculées en paramétrant la trajectoire C telle que X \ Equiv X (λ), etc., avec laquelle, dans la pratique, calculez comme sur n = 1.

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1-Forme différentielle Intégration

Intégration in \ mathbb r \ Mapsto \ int {f (x) dx} 1 et in \ mathbb r ^ 2 \ mappsto {f_1 (x, y) dx + f_2 (x, y) dy} 1} \ équiv \ int {lambda) d \ lambda} 1}

Je remarque que, en arrière-plan, nous travaillons avec deux objets

  • l’intégration (la forme à 1 différentiel), qui modifie normalement sa valeur le long de la Trajectoire
  • La trajectoire elle-même, dont elle n’est généralement pas consciente pour les intégrales de fonction réelles variables réelles. C’est la plage de l’axe X sur lequel l’intégrale est effectuée, dans la \ petite \ couleur {bleu} \ couleur {black} (ci-dessous) serait \ Gauche et \ Gauche.

Maintenant, quelle est la bonne façon de représenter dans ce contexte intégrant et la trajectoire? Prenons l’exemple de l’intégrale

\ int ^ 3} {6}. Dans ce cas particulier, ils seront de plus en plus proches et ont une orientation dans le sens croissant du champ. La trajectoire sur l’axe X est hachée par les lignes de niveau. Le nombre total de pièces est la valeur de l’intégrale.

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1-Forme différentielle Intégration
\ Phi niveau de niveau (x) = \ frac {x ^ 3} {6} \\ x = \ sqrt {6n}

Environ de l’intégrale défini

Les résultats de ces intégrales sont à l’abri d’un changement de base – par exemple d’échelle et sont obtenus au « fonctionnement » de manière à une manière la forme différentielle sur la trajectoire . Ainsi, différentes intégrations peuvent être identifiées avec le même objet mathématique au moins du point de vue que son intégration définie est la même!

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