Lleis de Kepler

Representació gràfica de les lleis de Kepler. El Sol està situat en un dels focus. En temps iguals, les àrees escombrades pel planeta són iguals. Per tant, el planeta es mourà més ràpidament prop de el Sol.

Les lleis de Kepler van ser enunciades per Johannes Kepler per a descriure matemàticament el moviment dels planetes en les seves òrbites al voltant de el Sol. Encara que ell no les va descriure així, en l’actualitat s’enuncien com segueix:

Primera llei (1609) Tots els planetes es desplacen al voltant de el Sol descrivint òrbites el·líptiques. El Sol es troba en un dels focus de l’el·lipse. Segona llei (1609) El radi vector que uneix un planeta i el Sol recorre àrees iguals en temps iguals. La llei de les àrees és equivalent a la constància de el moment angular, és a dir, quan el planeta està més allunyat de el Sol (afeli) la seva velocitat és menor que quan està més proper a el Sol (periheli). El afeli i el periheli són els dos únics punts de l’òrbita en què el radi vector i la velocitat són perpendiculars. Per això només en aquests 2 punts el mòdul de el moment angular L {\ displaystyle L}Les pot calcular directament com el producte de la massa de la planeta per la seva velocitat i la seva distància a l’ centre de el Sol. l = m ⋅ ra ⋅ va = m ⋅ rp ⋅ vp {\ displaystyle l = m \ cdot r_ {a} \ cdot v_ {a} = m \ cdot r_ {p} \ cdot v_ {p} \ ,}{\ displaystyle L = m \ cdot r_ {a} \ cdot v_ {a} = m \ cdot r_ {p} \ cdot v_ {p} \,}En qualsevol altre punt de l’òrbita diferent de l’Afelio o de l’perihelio el càlcul de el moment angular és més complicat, ja que com la velocitat no és perpendicular a radi vector, cal utilitzar el producte vectorial l = m ⋅ r × v {\ displaystyle \ mathbf {L} = m \ cdot \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} \,}{\ displaystyle \ mathbf {L} = m \ cdot \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} \,}Tercera llei (1619) Per a qualsevol planeta, el quadrat del seu període orbital és directament proporcional a la galleda de la longitud d’el semieix major de la seva òrbita el·líptica . T 2 a 3 = C = constant {\ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}} = C = {\ text {constant}}}{\ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}} = C = {\ text {constant}}}On, T és el període orbital (temps que triga a fer una volta al voltant de el Sol), a la distància mitjana de la planeta amb el Sol i C la constant de proporcionalitat. Aquestes lleis s’apliquen a altres cossos astronòmics que es troben en mútua influència gravitatòria, com el sistema format per la Terra i el sol.

Formulació de Newton de la tercera llei de Kepler

Abans que es redactaren les lleis de Kepler va haver-hi altres científics com Claudi Ptolemeu, Nicolás Copèrnic i Tycho Brahe les principals contribucions a l’avanç de la ciència van estar en haver aconseguit mesures molt precises de les posicions dels planetes i de les estrelles. Kepler, que va ser deixeble de Tycho Brahe, va aprofitar totes aquestes mesures per poder formular la seva tercera llei.

Kepler va aconseguir descriure el moviment dels planetes. Va utilitzar els coneixements matemàtics de la seva època per trobar relacions entre les dades de les observacions astronòmiques obtingudes per Tycho Brahe i amb ells va aconseguir compondre un model heliocèntric de l’univers. Va començar treballant amb el model tradicional de l’cosmos, plantejant trajectòries excèntriques i moviments en epicicles, però va trobar que les dades de les observacions el situaven fora de l’esquema que havia establert Copèrnic, el que el va portar a concloure que els planetes no descrivien una òrbita circular al voltant de el Sol. Va assajar altres formes per a les òrbites i va trobar que els planetes descriuen òrbites el·líptiques, les quals tenen a el Sol en un dels seus focus. Analitzant les dades de Brahe, Kepler també va descobrir que la velocitat dels planetes no és constant, sinó que el radi vector que uneix el Sol (situat en un dels focus de la trajectòria el·líptica) amb un planeta determinat, descriu àrees iguals en temps iguals. En conseqüència, la velocitat dels planetes és més gran quan estan pròxims a el Sol (periheli) que quan es mouen per les zones més allunyades (afeli). Això dóna origen a les tres lleis de Kepler sobre el moviment planetari.

Les lleis de Kepler representen una descripció de cinemàtica de sistema solar.

  • Primera Llei de Kepler: Tots els planetes es mouen al voltant de el Sol seguint òrbites el·líptiques. El Sol està en un dels focus de l’el·lipse.
  • Segona Llei de Kepler: Els planetes es mouen amb velocitat areolar constant. És a dir, el vector posició r de cada planeta pel que fa a el Sol escombra àrees iguals en temps iguals.

Es pot demostrar que el moment angular és constant el que ens porta a les següents conclusions:

Les òrbites són planes i estables.Es recorren sempre en el mateix sentit. La força que mou els planetes és central.

  • Tercera Llei de Kepler: Es compleix que per a tots els planetes, la raó entre el període de revolució a el quadrat i el semieix major de l’el·lipse a la galleda es manté constant. És a dir:

T 2 a 3 = C {\ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}} = C}{ \ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}} = C}

Il·lustració de la relació entre el radi orbital i el període orbital.

l’estudi de Newton de les lleis de Kepler va conduir a la seva formulació de la llei de la gravitació universal.

la formulació matemàtica de Newton de la tercera llei de Kepler per a òrbites circulars és:

la força gravitacional crea l’acceleració centrípeta necessària per al moviment circular de radi a:

GM ma 2 = m ω 2 a {\ displaystyle {\ frac {GMm} {a ^ {2}}} = m \ omega ^ {2} a}{ \ displaystyle {\ frac {GMm} {a ^ {2}}} = m \ omega ^ {2} a}

recordant l’expressió que relaciona la velocitat angular i el període de revolució:

ω = 2 π T {\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}}}{\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T} }}

de dond i es dedueix que el quadrat de el temps d’una òrbita completa o període és:

T 2 = 4 π 2 GM a 3 {\ displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {GM}} a ^ {3}}{\ displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {GM}} a ^ {3}},

i buidant:

T 2 a 3 = 4 π 2 GM = C {\ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {GM}} = C}{\ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}} = {\ frac { 4 \ pi ^ {2}} {GM}} = C},

on C {\ displaystyle C} C és la constant de Kepler, T és el període orbital, a el semieix major de l’òrbita, M és la massa de el cos central i G una constant anomenada constant de gravitació universal el valor marca la intensitat de la interacció gravitatòria i el sistema d’unitats a utilitzar per a les altres variables de aquesta expressió. Aquesta expressió és vàlida tant per a òrbites circulars com el·líptiques.

En realitat C {\ displaystyle C} C no és constant, ja que aquesta última expressió és solament una aproximació de l’expressió més general que es dedueix amb tot rigor de les lleis de Newton i que és:

T 2 a 3 (m + m) = 4 π 2 G {\ displaystyle {\ frac {T ^ {2 }} {a ^ {3}}} \ (m + m) = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G}}}{\ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}} \ (m + m) = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G}}}

on m {\ displaystyle m } m és la massa de el cos central i m {\ displaystyle m} m la de l’astre que gira al voltant de él.Como en el Sistema Solar la massa de el Sol és molt superior a la de qualsevol planeta, m «m {\ displaystyle m \ ll m} {\ displaystyle m \ ll m} i la expressió simplificada s’obté de la més general fent m + m ≃ m {\ displaystyle m + m \ simeq m} {\ displaystyle m + m \ simeq m}

Notes i referències

  1. Kepler, Johannes (1609). Astronomia Nova.
  2. Vegeu “Configuració de l’òrbita dels planetes”.
  3. El web de Física. “Càlcul de la velocitat en òrbites el·líptiques”. Consultat el 7 de juny de 2017.

Enllaços externs

  • Crowell, Benjamin, Conservation Laws, http://www.lightandmatter.com/area1book2.html, un llibre electrònic que ofereix una prova de la primera llei sense l’ús de el càlcul. (Section 5.2, pàg. 112)
  • David McNamara and Gianfranco Vidali, Kepler ‘s Second Law – Java Interactive Tutorial, http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html, an interactive Java applet that aids in the understanding of Kepler ‘s Second Law.
  • Àudio – Cain / Gay (2010) Astronomy Cast Johannes Kepler and His Laws of Planetary Motion
  • University of Tennessee s Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion
  • Equant compared to Kepler: serveis interactius model
  • Kepler ‘s Third Law: serveis interactius model
  • Solar System Simulator (Interactive Applet)
  • Kepler and His Laws, educational web pages by David P. Stern
  • , Descripció detallada de la segona llei de Kepler.

control de autoridades

  • Proyectos wikimedia
  • wd datos: q83219
  • Commonscat multimèdia: kepler movions
    • Identificació
    • bnf: 1244515q (dades)
    • GND: 4365820- 9
    • ccn: sh94003544

    • Sudoc: 033600619
    • Microsoft acadèmic: 19699116
    • diccionarios i enciclopèdias
    • Britannica: / li>

    • wd datos: q83219
    • Commonscat multimèdia: kepler movions

    Leave a Comment

    L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *