Forma diferencial

Una forma diferencial és el que es posa dins d’una integral, però l’objectiu d’aquest article és presentar-vos la seva utilitat i exposar alhora la seva bella estructura local.

Si no tens clar el concepte de covector o 1-forma recomanem encaridament revisar abans l’article. També és convenient sentir-alguna cosa còmode amb la derivada direccional, els tensors i una mica d’àlgebra exterior.

Si ja has revisat o havies entrat en contacte amb les formes diferencials, sabràs que existeixen 1-formes, 2- formes i en general n-formes, en aquest article anem a desgranar-pas per pas, començarem amb les …

1-formes diferencials

La motivació principal per comprendre les 1-formes diferencials és el càlcul d’integrals de línia. En aquestes integrals es relaciona cada “segment infinitesimal” d’una trajectòria amb un escalar. Aquest tipus de relació de segment infinitesimal a escalar el proveeix una 1-forma diferencial. Una integral de línia sumarà després tots els escalars.

En resum, una 1-forma diferencial fa correspondre segments infinitesimals (vectors) amb escalars.

Els segments (vectors) d’el domini d’una una 1-forma diferencial són elements de l’espai cotangent de la varietat. La base dels espais cotangentes en cada punt és B = \ {dx_1, dx_2, …, dx_n \}. A més per tractar-se d’un espai vectorial, una 1-forma diferencial es pot expressar localment com a combinació lineal dels elements de la base així que \ bm \ alpha = \ sum_n f_n (x_n) dx_n.

Per exemple per la clàssica integral de trajectòria sobre un camp tridimensional conservatiu, la varietat considerada és \ mathbb R ^ 3, i una 1-forma diferencial és un element \ bm \ alpha \ in \ bigcup_p \ mathbb R ^ {3 *}.

dW = F_xdx + F_ydy + F_zdz

Covariança

Una idea que cal tenir clara sobre les formes diferencials és que són objectes covariants. Bé per les 1-formes diferencials, que són covectores, com per a les k-formes diferencials que són tensors k-covariants, aquesta idea de covariància és clau per arribar a el concepte de les k-formes. La covariància en facilita la interpretació geomètrica, integració i la seva àlgebra.

Per a comprovar la covariància prendrem com a exemple la 1-forma diferencial \ bm \ alpha = 2xdx + 2ydy, que es deriva de camp escalar (0-forma ) \ bm \ phi (\ mathbb R ^ 2) = x ^ 2 + y ^ 2. La 1- forma diferencial s’haurà comportat com un covector (covariant), si a l’canviar la base de l’espai vectorial a una altra de “doble mida” duplica les components de la 1-forma diferencial. Vegem-ho per exemple sobre la varietat \ mathbb R ^ 2.

Sigui T_p (\ mathbb R ^ 2) l’espai tangent en un punt p de la varietat \ mathbb R ^ 2 i dues bases. Una la de sempre B = \ left \ {\ bm e_i \ right \} = \ left \ {\ frac {\ partial} {\ partial x}, \ frac {\ partial} {\ partial i} \ right \} i a més la base “doble mida” B ‘= \ left \ {\ bm e’_i \ right \} = \ left \ {2 \ frac {\ partial} {\ partial x}, 2 \ frac {\ partial} {\ partial i} \ right \}

Sigui la base de l’dual \ mathbb R ^ {2 *}, B ^ * = \ left \ {\ bm \ epsilon_i \ right \} = \ {dx, dy \}. Desitgem trobar ara la nova base dual per veure com queden les components. Resulta que per definició \ bm \ epsilon ‘^ i (\ bm e’_j) = \ delta_j ^ i, i cal que si la base vectorial és “doble mida”, la base dual sigui “meitat de mida” per a conservar \ delta_j ^ i, o sigui B ‘^ * = \ {\ bm \ epsilon’ ^ i \} = \ {{dx \ over 2}, {dy \ over 2} \}.

Tenint ja les bases es pot veure com queden les components dels vectors en \ mathbb R ^ {2 *}. Recordem de dalt que la covariància vol dir que “a l’canviar la base de l’espai vectorial a una altra de” doble mida “duplica les components de la 1-forma”. Bé, llavors per a la 1-forma \ bm \ alpha = 2xdx + 2ydy

\ small \ bm \ alpha = d \ bm \ phi = \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partial x} dx + \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partial i} dy = 2xdx + 2ydy \ equiv \\ \ equiv \ left (\ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partial x}, \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partial i} \ right) = \ color {xarxa} (2x, 2y) \ color {black}

i si es canvia la base dual a la de “meitat mida” {B’_p } ^ * = \ {{dx \ over 2}, {dy \ over 2} \} = \ {dx ‘, di’ \}, i substituint en l’expressió de la 1-forma diferencial

\ small \ bm \ alpha = d \ bm \ phi = \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partial x} dx + \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partial i} dy = \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partial x} {2DX ‘} + \ frac {\ partial \ bm \ phi} {\ partial i} {2dy’} \ equiv \\ \ equiv \ color {xarxa} (4x, 4 i) \ color {black}

Amb el que efectivament a l’canviar la base de l’espai vectorial a una altra “mida doble”, les components de la 1-forma diferencial també s’incrementen en la mateixa proporció. Es compleix que les components són covariants; aquest és de el concepte de covariància.

Interpretació geomètrica en el pla

Si visites l’article sobre 1-formes veuràs un exemple d’una 1-forma de \ mathbb R ^ 2 que es pot interpretar com una sèrie de línies paral·leles que trossegen vectors.

covector representació geomètrica
Representació geomètrica d’un covector

A partir d’aquí una 1-forma diferencial és un camp de 1-formes definit sobre una varietat diferenciable. Per exemple per a una 1-forma diferencial definida sobre \ mathbb R ^ 2 cal imaginar-se que en cada punt es tenen les línies vermelles de la de mida infinitesimal. La unió de les línies traçarà les típiques corbes de nivell, que és com es representen geomètricament les 1-formes diferencials. En general una 1-forma diferencial que es deriva d’un camp escalar definit sobre una n-varietat, és un objecte (n-1) -dimensional. La derivació de camp escalar s’efectua amb l’operació derivada exterior.

Per exemples d’aquest tipus, les i mostren camps escalars sobre \ mathbb R ^ 2 (dimensió 2), ia la dreta les corbes de nivell representen 1-formes diferencials (dimensió 1). Dues matisacions: naturalment no es representa una línia infinitesimal per a cada punt de la varietat, sinó que se seleccionen algunes línies per il·lustrar la idea general. El gradient, representat per fletxes en les dues figures, indueix una orientació espacial a les corbes de nivell que cobrarà importància a l’hora d’integrar les k-formes.

1-forma diferencial en el plànol 1
Camp escalar \ phi (\ mathbb R ^ 2) = xi, i el seu corresponent 1-forma diferencial \ alpha = y · dx + xdy

1-Forma diferencial en el plànol 2
Camp escalar \ phi (\ mathbb R ^ 2) = sin (x) cos (i), i el seu corresponent 1-forma diferencial \ alpha = cos (x) cos (i) dx- sense (x) sense (i) dy

Interpretació geomètrica en l’espai

Si la 1-forma diferencial està definida sobre \ mathbb R ^ 3 (dimensió 3), pot ser representada en cada punt de la varietat com un element 2-pla de gruix infinitesimal. La unió de tots els elements de la 3-varietat, es pot dibuixar per conveniència amb algunes superfícies de nivell a l’estil de la. Aquestes posseeixen gruix infinitesimal, i en aquest exemple les fletxes representen el gradient que indueix l’orientació de les superfícies.

1 -forma diferencial en l'espai
Camp escalar \ phi (\ mathbb R ^ 3) = xyz, i el seu corresponent 1-forma diferencial \ alpha = yzdx + xzdy + xydz

una altra interpretació geomètrica de la integral definida

Si vols una interpretació més pràctica d’una 1-forma diferencial, diré que és un objecte matemàtic que serà operat en integrals de línia sobre n-varietats diferenciables. Si n \ ge 2 els integrals es poden calcular parametritzant la trajectòria C tal que x \ equiv x (\ lambda) ei \ equiv i (\ lambda), etc, amb el que en la pràctica calculen com sobre n = 1.

1-forma diferencial integració
integració en \ mathbb R \ mapsto \ int \ underbrace {f (x) dx} _ {1-forma} i en \ mathbb R ^ 2 \ mapsto \ oint_C \ underbrace {f_1 (x, y) dx + f_2 (x, y) dy} _ {1-forma} \ equiv \ int \ underbrace {f_3 (\ lambda) d \ lambda} _ {1-forma}

Notem que, en el fons, estem treballant amb dos objectes

  • l’integrant (la 1-forma diferencial), que normalment modifica el seu valor al llarg de la trajectòria
  • la trajectòria en si, de la qual no sol ser conscient per integrals de funció real de variable real. És l’interval de l’eix X sobre el qual es realitza la integral, en el \ small \ color {blue} \ color {black} (més endavant) seria \ left i \ left.

Ara bé, ¿Quina és la forma adequada de representar en aquest context tant l’integrant com la trajectòria? Prenguem l’exemple per a la integral

\ int {x ^ 2 \ over 2} dx

Es calculen primer les corbes (línies) de nivell de camp escalar de què procedeix \ phi (x) = \ frac {x ^ 3} {6}. En aquest cas particular estaran cada vegada més properes i presenten una orientació en el sentit creixent de camp. La trajectòria en l’eix X és trossejada per les línies de nivell. El nombre total de trossos és el valor de la integral.

1-forma diferencial integració
Línies de nivell de \ phi (x) = \ frac {x ^ 3} {6} \\ x = \ sqrt {6n}

Invariància de la integral definida

Els resultats d’aquestes integrals són immunes a un canvi de base -per exemple d’escala-, i s’obtenen a el “operar” d’alguna manera la 1-forma diferencial sobre la trajectòria. Així es poden identificar integrands diferents amb un mateix objecte matemàtic ‘a el menys des del punt de vista que la seva integral definida és la mateixa !.

Leave a Comment

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *